核反応の運動学

反応の自由度

反応前には核aは一定のエネルギーをもってある方向 (ビーム方向。これをz方向とする)に 運動している。反応後の核B,bの運動量を変数と考える。 そうすると、自由度は6である。 これらのエネルギーはエネルギーと運動量の関係で決まる。 反応の前後で運動量が保存することから3つの式が成り立つ。 エネルギーの保存からも1つの式があるので、3つの変数が消去できる。 反応はビームの方向については軸対称であり、運動は軸のまわりの角度には依存しない。 したがって、2つの量の間の関係(例えば、核bの放出角度とエネルギーの関係)などが 決まる。

エネルギーの保存

反応が起こると前後での質量が変化する。この差(M_A+M_a- M_B-M_b)c²が運動エネルギーに変換される。

実験室系と重心系

二体問題は重心運動と相対運動とに分離され、一体問題に帰着する。 実験では標的核Aが静止しているので、これを重心が静止している重心系に変換すれば よい。この変換は非相対論ではガリレイ変換、相対論ではローレンツ変換となる。 ここでは主に非相対論の場合を扱う。

実験室系で核aのエネルギーをE_Lとすると速度v_L= √2E_L/M_aであるので 、重心の速度はv₀=M_a/(M_a+M_A)v_Lとなる。 重心系でのエネルギーはE_CM=M_A/(M_a+M_A)E_L である。 ここで、γ=√(M_aM_bE_CM)/M_AM_B(E_CM+Q)と定義すると、重心系での粒子bの速度はv_b= γv₀となる。
この関係から、粒子bの速度と散乱角の関係 を容易に求めることができる。

φを実験室系での角度、θを重心系での角度、V_Lを実験室系での速度と すると、 v_L/v_b=cosφ+√γ²-sin²φ
tan φ=γsinφ/(1+γcos θ)
θ=φ+sin^-1(sinφ/γ)
などの関係が得られる。
弾性散乱の場合にはγ=M_A/M_aとなる。 M_a>M_Aの場合をinverse kinematicsと呼ぶ。 この場合には1つのφに対してθが二価関数となる。また、反応生成物は前方に 集中して放出される。

相対論の場合

基本的な考え方は非相対論のときと同じ。反応の前後でローレンツ不変量が あることに注意して計算する。

粒子の二体崩壊

不変質量法などによって、崩壊前の励起エネルギーを求めることができる。 詳しくは ここを見よ。